حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + y^{2} x = 30$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + y^{2} x) = \frac{d}{d x} (30)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + y^{2} x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

خطوة 2.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y^{2}$ و $g (x) = x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} \cdot 1 + x (2 y y')$

خطوة 2.3.5

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + x (2 y y')$

خطوة 2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + y^{2} + 2 x y y'$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

خطوة 3

بما أن $30$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $30$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x y'$ من $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ على $x (x + 2 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ على $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (x + 2 y)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{2 y}{x + 2 y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} - 2 y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.9.1

أعِد كتابة $- (y + 2 x)$ بالصيغة $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

خطوة 5.3.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$