حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

خطوة 2.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

خطوة 2.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

بسّط $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.1

اجمع.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.1.1.3.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

خطوة 2.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 4$

خطوة 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

خطوة 2.6

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 2.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 2$

خطوة 2.7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 2$

خطوة 2.7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 2$

خطوة 2.7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 2, - 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $2, - 2$ .

$2, - 2$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

خطوة 5.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 5.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

خطوة 5.2.5.2

اطرح $12$ من $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

خطوة 5.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 3$ هو $\frac{15}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, - 2)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 2)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 2, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

خطوة 6.2.1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

خطوة 6.2.2

اطرح $3$ من $0$ .

$f' (0) = - 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 0$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- 2, 2)$ .

تناقص خلال $(- 2, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

اضرب $3$ في ${(3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

خطوة 7.2.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

خطوة 7.2.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

خطوة 7.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 7.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

خطوة 7.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

خطوة 7.2.5.2

اطرح $12$ من $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

خطوة 7.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 3$ هو $\frac{15}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

تناقص خلال: $(- 2, 2)$

خطوة 9