حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + x^{2} \cos (y) = y^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} \cos (y)) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + x^{2} \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x)$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (y)$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $3 x^{2} - x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y)$ .

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) = 3 y^{2} y'$

خطوة 5.2

اطرح $3 y^{2} y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} - x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = 0$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 x \cos (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

اطرح $2 x \cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y' \sin (y) - 3 y^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- x^{2} y' \sin (y)$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- x^{2} \sin (y)) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ على $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ على $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2})}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2} - 2 x \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x \cos (y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- 3 x) + x (- 2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 \cos (y))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 \cos (y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x) - (2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.6

أعِد كتابة $- (3 x + 2 \cos (y))$ بالصيغة $- 1 (3 x + 2 \cos (y))$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- x^{2} \sin (y) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} \sin (y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - 3 y^{2}}$

خطوة 5.5.3.2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})}$

خطوة 5.5.3.2.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} \sin (y)) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

خطوة 5.5.3.2.10

أعِد كتابة $- (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

خطوة 5.5.3.2.11

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 \cos (y)))}{- 1 (x^{2} \sin (y) + 3 y^{2})}$

خطوة 5.5.3.2.12

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 x + 2 \cos (y))}{x^{2} \sin (y) + 3 y^{2}}$