حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} y^{2} = \cos (π y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (π y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

خطوة 2.6

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $π y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $π y$ .

$- \sin (π y) \frac{d}{d x} [π y]$

خطوة 3.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (π y) (π \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (π y) (π y')$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب عوامل $- \sin (π y) (π y')$ .

$- π \sin (π y) y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π \sin (π y) y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- π \sin (π y) y'$ .

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = - π y' \sin (π y)$

خطوة 5.2

أضف $π y' \sin (π y)$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} + π y' \sin (π y) = 0$

خطوة 5.3

اطرح $3 x^{2} y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{3} y y' + π y' \sin (π y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{3} y y'$ .

$y' (2 x^{3} y) + π y' \sin (π y) = - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $π y' \sin (π y)$ .

$y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{3} y) + y' (π \sin (π y))$ .

$y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ على $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} y + π \sin (π y)) = - 3 x^{2} y^{2}$ على $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{3} y + π \sin (π y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{3} y + π \sin (π y))}{2 x^{3} y + π \sin (π y)} = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y^{2}}{2 x^{3} y + π \sin (π y)}$