حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{y} - y e^{x} = 9$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - y e^{x}) = \frac{d}{d x} (9)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} - y e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} y')$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x}) - (e^{x} y')$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x e^{y} y' + e^{y} - y e^{x} - e^{x} y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$

خطوة 3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} - y e^{x} - y' e^{x} + e^{y} = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $y e^{x}$ إلى كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} - y' e^{x} + e^{y} = y e^{x}$

خطوة 5.2.2

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x y' e^{y} - y' e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x})$ .

$y' (x e^{y} - 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 e^{x}$ بالصيغة $- e^{x}$ .

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ على $x e^{y} - e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ على $x e^{y} - e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x e^{y} - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$