حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{x} y^{2} + 3 y = 4 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{x} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{x} y^{2} + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{x} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{x}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$x^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{x} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$x^{x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{x}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.4

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أعِد كتابة $x^{x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{x})}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.4.2

وسّع $\ln (x^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x^{x} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.7

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{x} (2 y y') + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $x^{x}$ .

$2 \cdot x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.10

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 x^{x} y y' + y^{2} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.12

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)) + 3 y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} \cdot 1 + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$2 x^{x} y y' + y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{x} y y' + e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) + 3 y' = 4$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{x \ln (x)} y^{2} + e^{x \ln (x)} y^{2} \ln (x)$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 x^{x} y y' - 3 y' + 4$ .

$y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x) = - 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4$

خطوة 5.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب العوامل في $y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' + 4 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}$

خطوة 5.6

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y y' x^{x} - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

خطوة 5.7

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' x^{x} - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y' x^{x}$ .

$y' (- 2 y x^{x}) - 3 y' = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

خطوة 5.7.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y'$ .

$y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3 = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

خطوة 5.7.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 2 y x^{x}) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ على $- 2 y x^{x} - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $y' (- 2 y x^{x} - 3) = y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4$ على $- 2 y x^{x} - 3$ .

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 y x^{x} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 y x^{x} - 3)}{- 2 y x^{x} - 3} = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{- 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} + \frac{y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)}}{- 2 y x^{x} - 3} - \frac{4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 2 y x^{x} - 3}$

خطوة 5.8.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y x^{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 3}$

خطوة 5.8.3.5

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x}) - 1 (3)}$

خطوة 5.8.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 y x^{x}) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- (2 y x^{x} + 3)}$

خطوة 5.8.3.7

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.7.1

أعِد كتابة $- (2 y x^{x} + 3)$ بالصيغة $- 1 (2 y x^{x} + 3)$ .

$y' = \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{- 1 (2 y x^{x} + 3)}$

خطوة 5.8.3.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{x \ln (x)} + y^{2} \ln (x) e^{x \ln (x)} - 4}{2 y x^{x} + 3}$