حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2} = 24$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (24)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(y^{2} + 3)}^{2}$ بالصيغة $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + (y^{2} + 3) (y^{2} + 3)]$

خطوة 2.2

وسّع $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} (y^{2} + 3) + 3 (y^{2} + 3)]$

خطوة 2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 (y^{2} + 3)]$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

خطوة 2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

خطوة 2.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

خطوة 2.3.1.2

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 \cdot y^{2} + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

خطوة 2.3.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 y^{2} + 3 y^{2} + 9]$

خطوة 2.3.2

أضف $3 y^{2}$ و $3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9]$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 {(x^{2} + 1)}^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} + 1$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.7

اضرب $2$ في $4$ .

$2 (8 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.5.8

اضرب $8$ في $2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.6.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.6.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.6.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.7.4

اضرب $2$ في $6$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 2.8

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + 0$

خطوة 2.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أضف $16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$ و $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

خطوة 2.9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

خطوة 3

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} y' + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y' + 12 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $12 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3 = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3$ .

$4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ على $4 y (y^{2} + 3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ على $4 y (y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 y (y^{2} + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

خطوة 5.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$