حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + 9 x^{\frac{1}{3}}}$ في صورة ${(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

خطوة 1.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int \frac{{(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

خطوة 1.4

انقُل $x^{\frac{2}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

خطوة 1.5

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

خطوة 1.5.2

اضرب $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}} d x$

خطوة 1.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2}{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . إذن $d u = \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ ، لذا $- d u = \frac{- 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 9 x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 2.1.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 2.1.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 2.1.3.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 2.1.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 + 9 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 2.1.3.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$0 + 9 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 2.1.3.9

اجمع $9$ و $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$0 + \frac{9 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 2.1.3.10

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{9}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.1.3.11

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.1.3.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.12.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 2.1.3.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + \frac{3 \cdot 3}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.1.3.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 + 9 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{9} {(2 + 9 x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} + C$