حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {\cos (2 x)}^{x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\cos (2 x)}^{x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة ${\cos (2 x)}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (2 x)}^{x})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln ({\cos (2 x)}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\cos (2 x))}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x \ln (\cos (2 x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x \ln (\cos (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (2 x))]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\cos (2 x))$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (2 x))] + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6.2

مشتق $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $- \sin (u_{3})$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $2 x$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.7.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)) \cdot 1)$

خطوة 3.7.6

اضرب $\ln (\cos (2 x))$ في $1$ .

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))) + \ln (\cos (2 x)))$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} (x (\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)))) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.8.2

احذِف الأقواس.

$e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) (- 2 \sin (2 x)) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

خطوة 3.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{x \ln (\cos (2 x))} x \sec (2 x) \sin (2 x) + e^{x \ln (\cos (2 x))} \ln (\cos (2 x))$