حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(3 x - 4)}^{4}$ و $g (x) = {(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{({(2 x + 3)}^{7})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${({(2 x + 3)}^{7})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{7 \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 3 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x - 4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(2 x + 3)}^{7}$ .

$\frac{4 \cdot {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.5

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + 0) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \cdot 3 - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.4.7.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = 2 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x + 3$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.7.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} (2 \cdot {(2 x + 3)}^{6})}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.6.7.3

اضرب $2$ في $- 7$ .

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

أخرِج العامل $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ من $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1.1

أخرِج العامل $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ من $12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.1.2

أخرِج العامل $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ من $- 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.1.3

أخرِج العامل $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ من $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3) - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.3

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.6

اضرب $3$ في $- 7$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.7

اضرب $- 7$ في $- 4$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.8

اطرح $21 x$ من $12 x$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 18 + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.1.9

أضف $18$ و $28$ .

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(2 x + 3)}^{6}$ و ${(2 x + 3)}^{14}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

أخرِج العامل ${(2 x + 3)}^{6}$ من $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

خطوة 3.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.2.1

أخرِج العامل ${(2 x + 3)}^{6}$ من ${(2 x + 3)}^{14}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 9 x$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.4

أعِد كتابة $46$ بالصيغة $- 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) - 1 (- 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (9 x) - 1 (- 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.6

أعِد كتابة $- (9 x - 46)$ بالصيغة $- 1 (9 x - 46)$ .

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 1 (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 3.7.8

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$ .

$- \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$