حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1 - 3 x$ و $g (x) = x^{2} + 7$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{2} + 7$ .

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.1

اضرب $- 3$ في $7$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.1.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

أضف $- 3 x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $7$ زائد $- 9$

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3.6.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + 7$ .

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$