حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{3}}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x - 1})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x - 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x - 1$ .

$\frac{3 \cdot (x - 1) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 (x - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 x + 3 \cdot - 1) x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - 3 x^{2} - x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

اطرح $x^{3}$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - 3 x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (2 x - 3)}{{(x - 1)}^{2}}$