حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(x + 1)}^{x + 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{x + 1})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{x + 1}$ بالصيغة $e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}]$

خطوة 3.1.2

وسّع $\ln ({(x + 1)}^{x + 1})$ بنقل $x + 1$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{(x + 1) \ln (x + 1)}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $(x + 1) \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $(x + 1) \ln (x + 1)$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 3.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.5.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + 0))$

خطوة 3.5.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

خطوة 3.5.8.2

اضرب $\ln (x + 1)$ في $1$ .

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1))$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$