حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2}}{1 - x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{1 - x})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $1 - x$ .

$\frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.7.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.2.9

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.3.2

أضف $- 2 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.5.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.5.3

أخرِج العامل $x$ من $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.9

أعِد كتابة $- (x - 2)$ بالصيغة $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x - 2)}{{(- x + 1)}^{2}}$