حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{4})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(2 x - 4)}^{5}$ و $g (x) = {(1 - x^{3})}^{4}$ .

${(2 x - 4)}^{5} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{3})}^{4}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 1 - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - x^{3}$ .

${(2 x - 4)}^{5} (4 {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(2 x - 4)}^{5}$ .

$4 \cdot {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [- x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{3}]) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 4 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} (3 x^{2}) + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.3.8

اضرب $3$ في $- 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x - 4)}^{5}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = 2 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x - 4$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + {(1 - x^{3})}^{4} (5 {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(1 - x^{3})}^{4}$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 \cdot {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 4]$

خطوة 3.5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 3.5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 3.5.5

اضرب $2$ في $1$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

خطوة 3.5.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} (2 + 0)$

خطوة 3.5.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 5 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4} \cdot 2$

خطوة 3.5.7.2

اضرب $2$ في $5$ .

$- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

خطوة 3.5.7.3

أخرِج العامل $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ من $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2} + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.3.1

أخرِج العامل $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ من $- 12 {(2 x - 4)}^{5} {(1 - x^{3})}^{3} x^{2}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$

خطوة 3.5.7.3.2

أخرِج العامل $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ من $10 {(1 - x^{3})}^{4} {(2 x - 4)}^{4}$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$

خطوة 3.5.7.3.3

أخرِج العامل $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3}$ من $2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2}) + 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (5 (1 - x^{3}))$ .

$2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {(2 x - 4)}^{4} {(1 - x^{3})}^{3} (- 6 (2 x - 4) x^{2} + 5 (1 - x^{3}))$