حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ و $g (x) = e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{3}}] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{5 x}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{5}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5 x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{5}{3}$ و $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.3.4

اضرب $x^{2} - 3 x + 3$ في $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

خطوة 3.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.3.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.3.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 3.3.10

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + 0)$

خطوة 3.3.11

أضف $2 x - 3$ و $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.3

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.4

اجمع $x$ و $\frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 15$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 (1)} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 \cdot 1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})}{1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.5.2.4

اقسِم $x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.6

اجمع $3$ و $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.7

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.8.1

أخرِج العامل $3$ من $15 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 (1)} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.8.2.4

اقسِم $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

خطوة 3.4.3.9

انقُل $- 3$ إلى يسار $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) - 3 \cdot e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.3.10

انقُل $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.3.11

أضف $- 5 x e^{\frac{5 x}{3}}$ و $2 x e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.3.12

اطرح $3 e^{\frac{5 x}{3}}$ من $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.5.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.5.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 3.4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$