حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (4 y) = 5 x y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (4 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 y$ .

$\frac{1}{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4 y}$ .

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$5 (x y' + y)$

خطوة 3.6

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x y' + 5 y$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} = 5 x y' + 5 y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} y = (5 x y' + 5 y) y$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = (5 x y' + 5 y) y$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $(5 x y' + 5 y) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = 5 x y' y + 5 y \cdot y$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

انقُل $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 (y \cdot y)$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' = 5 x y' y + 5 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.3

انقُل $x$ .

$y' = 5 y' x y + 5 y^{2}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $5 y' x y$ من كلا المتعادلين.

$y' - 5 y' x y = 5 y^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' - 5 y' x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 5 y' x y = 5 y^{2}$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 5 y' x y$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 5 x y) = 5 y^{2}$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cdot 1 + y' (- 5 x y)$ .

$y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ على $1 - 5 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (1 - 5 x y) = 5 y^{2}$ على $1 - 5 x y$ .

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 5 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 - 5 x y)}{1 - 5 x y} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{1 - 5 x y}$