حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x) + \ln (y) = 9 x - 9 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (9 x - 9 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (x) + \ln (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y'$

خطوة 2.3.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x - 9 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

خطوة 3.2.3

اضرب $9$ في $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 - 9 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$9 - 9 y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 9 - 9 y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $9 y'$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x, y, 1, 1$

خطوة 5.2.2

Since $x, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, y^{1}$ .

خطوة 5.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 5.2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 5.2.5

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 5.2.6

عامل $x^{1}$ هو $x$ نفسها.

$x^{1} = x$

تحدث $x$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.2.7

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 5.2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x^{1}, y^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$x y$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$ في $x y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$ في $x y$ .

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x y$ .

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y + y' x + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

$y + y' x + 9 y' x y = 9 (x y)$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف الأقواس.

$y + y' x + 9 y' x y = 9 x y$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y' x + 9 y' x y = 9 x y - y$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x + 9 y' x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + 9 y' x y = 9 x y - y$

خطوة 5.4.2.2

أخرِج العامل $y' x$ من $9 y' x y$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (9 y) = 9 x y - y$

خطوة 5.4.2.3

أخرِج العامل $y' x$ من $y' x \cdot 1 + y' x (9 y)$ .

$y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$

خطوة 5.4.3

اقسِم كل حد في $y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$ على $x (1 + 9 y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اقسِم كل حد في $y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$ على $x (1 + 9 y)$ .

$\frac{y' x (1 + 9 y)}{x (1 + 9 y)} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x (1 + 9 y)}{x (1 + 9 y)} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (1 + 9 y)}{1 + 9 y} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + 9 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (1 + 9 y)}{1 + 9 y} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.2

لكتابة $\frac{9 y}{1 + 9 y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(1 + 9 y) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.3.1

اضرب $\frac{9 y}{1 + 9 y}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y x}{(1 + 9 y) x} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(1 + 9 y) x$ .

$y' = \frac{9 y x}{x (1 + 9 y)} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{9 y x - y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.5

أخرِج العامل $y$ من $9 y x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $9 y x$ .

$y' = \frac{y (9 x) - y}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.5.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (9 x) + y \cdot - 1}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 5.4.3.3.5.3

أخرِج العامل $y$ من $y (9 x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (9 x - 1)}{x (1 + 9 y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x - 1)}{x (1 + 9 y)}$