حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 6 {(3 y - 8)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (6 {(3 y - 8)}^{4})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\frac{d}{d x} [6 ({(3 y)}^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (3^{4} y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 {(3 y)}^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (3^{3} y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 4 (27 y^{3}) \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $27$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} + 108 y^{3} \cdot - 8 + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $- 8$ في $108$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 {(3 y)}^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $3 y$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (3^{2} y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.8

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 6 (9 y^{2}) {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.9

اضرب $9$ في $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} {(- 8)}^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.10

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 54 y^{2} \cdot 64 + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.11

اضرب $64$ في $54$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 4 (3 y) {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.12

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y {(- 8)}^{3} + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.13

ارفع $- 8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} + 12 y \cdot - 512 + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.14

اضرب $- 512$ في $12$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + {(- 8)}^{4})]$

خطوة 3.2.1.15

ارفع $- 8$ إلى القوة $4$ .

$\frac{d}{d x} [6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)]$

خطوة 3.2.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 (81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$ .

$6 \frac{d}{d x} [81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096]$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $81 y^{4} - 864 y^{3} + 3456 y^{2} - 6144 y + 4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [81 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.2.4

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $81 y^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $81 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$6 (81 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$6 (81 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$6 (81 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$6 (81 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $81$ .

$6 (324 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [- 864 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.6

بما أن $- 864$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 864 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 864 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 864 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.8

اضرب $3$ في $- 864$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3456 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.10

بما أن $3456$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3456 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3456 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.11.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $y$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 3456 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.12

اضرب $2$ في $3456$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' + \frac{d}{d x} [- 6144 y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.14

بما أن $- 6144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6144 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6144 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + \frac{d}{d x} [4096])$

خطوة 3.16

بما أن $4096$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4096$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y' + 0)$

خطوة 3.17

أضف $324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y'$ و $0$ .

$6 (324 y^{3} y' - 2592 y^{2} y' + 6912 y y' - 6144 y')$

خطوة 3.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (324 y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

خطوة 3.18.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.2.1

اضرب $324$ في $6$ .

$1944 (y^{3} y') + 6 (- 2592 y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

خطوة 3.18.2.2

اضرب $- 2592$ في $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 (y^{2} y') + 6 (6912 y y') + 6 (- 6144 y')$

خطوة 3.18.2.3

اضرب $6912$ في $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 (y y') + 6 (- 6144 y')$

خطوة 3.18.2.4

اضرب $- 6144$ في $6$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$ .

$1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $72 y'$ من $1944 y^{3} y' - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $72 y'$ من $1944 y^{3} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) - 15552 y^{2} y' + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $72 y'$ من $- 15552 y^{2} y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 41472 y y' - 36864 y' = 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $72 y'$ من $41472 y y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) - 36864 y' = 1$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $72 y'$ من $- 36864 y'$ .

$72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $72 y'$ من $72 y' (27 y^{3}) + 72 y' (- 216 y^{2})$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

خطوة 5.2.6

أخرِج العامل $72 y'$ من $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2}) + 72 y' (576 y)$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512 = 1$

خطوة 5.2.7

أخرِج العامل $72 y'$ من $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y) + 72 y' \cdot - 512$ .

$72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ على $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512) = 1$ على $72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)$ .

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{72 y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}{27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{72 (27 y^{3} - 216 y^{2} + 576 y - 512)}$