حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y (2 x + 3 y) = 2$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x y (2 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x y$ و $g (x) = 2 x + 3 y$ .

$x y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y] + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$x y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$x y (2 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y (2 + 3 \frac{d}{d x} [y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.7

اضرب $y$ في $1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

خطوة 2.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y') + (2 x + 3 y) y$

خطوة 2.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + (2 x + 3 y) y$

خطوة 2.8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $x y$ .

$2 \cdot (x y) + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x^{1}) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{1 + 1} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

خطوة 2.8.5.6

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y)$

خطوة 2.8.5.7

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y^{1})$

خطوة 2.8.5.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{1 + 1}$

خطوة 2.8.5.9

أضف $1$ و $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{2}$

خطوة 2.8.5.10

انقُل $y$ .

$2 x y + 3 \cdot x y y' + 3 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

خطوة 2.8.5.11

أضف $3 x y y'$ و $3 x y y'$ .

$2 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

خطوة 2.8.5.12

أضف $2 x y$ و $2 x y$ .

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 3 y^{2}$

خطوة 2.8.6

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y'$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 x y$ من كلا المتعادلين.

$6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $6 x y y' + 2 x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 x y'$ من $6 x y y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x^{2} y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x y' x = - 3 y^{2} - 4 x y$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x y' (3 y) + 2 x y' x$ .

$2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ على $2 x (3 y + x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ على $2 x (3 y + x)$ .

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3 y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (3 y + x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 y}{3 y + x}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $- \frac{2 y}{3 y + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 x (3 y + x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{2 y}{3 y + x}$ في $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{(3 y + x) (2 x)}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(3 y + x) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 y^{2} - 2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2} - 2 y \cdot 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.1

أخرِج العامل $y$ من $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) - 2 y \cdot 2 x}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.5.1.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y \cdot 2 x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.5.1.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.5.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - (4 x))}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y) - (4 x)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (3 y + 4 x)$ بالصيغة $- 1 (3 y + 4 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$