حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x + y) = y \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y \sin (x))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5.1.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5.1.1.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5.1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + \sin (x) y'$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y \cos (x) + y' \sin (x)$

خطوة 5.3

اطرح $y' \sin (x)$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x)$

خطوة 5.4

أضف $\sin (x + y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- y' \sin (x + y) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $y'$ من $- y' \sin (x + y) - y' \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $y'$ من $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' \sin (x) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y' \sin (x)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' (- 1 \sin (x))$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $- 1 \sin (x + y)$ بالصيغة $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1 \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.7

أعِد كتابة $- 1 \sin (x)$ بالصيغة $- \sin (x)$ .

$y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$

خطوة 5.8

اقسِم كل حد في $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ على $- \sin (x + y) - \sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

اقسِم كل حد في $y' (- \sin (x + y) - \sin (x)) = y \cos (x) + \sin (x + y)$ على $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - \sin (x))}{- \sin (x + y) - \sin (x)} = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- \sin (x + y) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.1.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.1.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = \frac{y \cos (x)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x + y) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.1.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x + y)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.1.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x)$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - (\sin (x))}$

خطوة 5.8.3.1.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (x + y)) - (\sin (x))$ .

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} + \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + \sin (x))}$

خطوة 5.8.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x)}{\sin (x + y) + \sin (x)} - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y \cos (x) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y \cos (x)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y \cos (x)) - (\sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (y \cos (x) + \sin (x + y))$ بالصيغة $- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \cos (x) + \sin (x + y))}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 5.8.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cos (x) + \sin (x + y)}{\sin (x + y) + \sin (x)}$