حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x y^{2} + \sin (y) = \sin (x^{2} + 1)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (5 x y^{2} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (\sin (x^{2} + 1))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x y^{2} + \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5 (2 x y y' + y^{2}) + \cos (y) y'$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (2 x y y') + 5 y^{2} + \cos (y) y'$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$10 x y y' + 5 y^{2} + \cos (y) y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\cos (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cos (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\cos (x^{2} + 1) (2 x)$

خطوة 3.2.4.2

أعِد ترتيب عوامل $\cos (x^{2} + 1) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2} + 1)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y' = 2 x \cos (x^{2} + 1)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $5 y^{2} + 10 x y y' + \cos (y) y'$ .

$5 y^{2} + 10 x y y' + y' \cos (y) = 2 x \cos (x^{2} + 1)$

خطوة 5.2

اطرح $5 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$10 x y y' + y' \cos (y) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $10 x y y' + y' \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $10 x y y'$ .

$y' (10 x y) + y' (\cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (y)$ .

$y' (10 x y) + y' (\cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (10 x y) + y' (\cos (y))$ .

$y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$ على $10 x y + \cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (10 x y + \cos (y)) = 2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}$ على $10 x y + \cos (y)$ .

$\frac{y' (10 x y + \cos (y))}{10 x y + \cos (y)} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10 x y + \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (10 x y + \cos (y))}{10 x y + \cos (y)} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} + \frac{- 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1)}{10 x y + \cos (y)} - \frac{5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

خطوة 5.4.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x \cos (x^{2} + 1) - 5 y^{2}}{10 x y + \cos (y)}$