حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 (x^{2} + y^{2}) = 100 (x^{2} - y^{2})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (x^{2} + y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (2 x + 2 y y')$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x) + 3 (2 y y')$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + 3 (2 y y')$

خطوة 2.4.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + 6 y y'$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 y y' + 6 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $100$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $100 (x^{2} - y^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $2$ في $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 2$ في $100$ .

$200 x - 200 y y'$

خطوة 3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 200 y y' + 200 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 y y' + 6 x = - 200 y y' + 200 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $200 y y'$ إلى كلا المتعادلين.

$6 y y' + 6 x + 200 y y' = 200 x$

خطوة 5.1.2

أضف $6 y y'$ و $200 y y'$ .

$206 y y' + 6 x = 200 x$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$206 y y' = 200 x - 6 x$

خطوة 5.2.2

اطرح $6 x$ من $200 x$ .

$206 y y' = 194 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $206 y y' = 194 x$ على $206 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $206 y y' = 194 x$ على $206 y$ .

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $206$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{206 y y'}{206 y} = \frac{194 x}{206 y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{194 x}{206 y}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{194 x}{206 y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $194$ و $206$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $194 x$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{206 y}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $206 y$ .

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (97 x)}{2 (103 y)}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{97 x}{103 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{97 x}{103 y}$