حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x) \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (y)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 2.5

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 2 (\cos (y) \cos (x))$

خطوة 2.6.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) y' + 2 \cos (y) \cos (x)$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \sin (x) \sin (y) y' + 2 \cos (x) \cos (y)$

خطوة 3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 2 \sin (x) \sin (y) y' + 2 \cos (x) \cos (y) = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 \sin (x) \sin (y) y' + 2 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 2 y' \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $2 \cos (x) \cos (y)$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y' \sin (x) \sin (y) = - 2 \cos (x) \cos (y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 2 y' \sin (x) \sin (y) = - 2 \cos (x) \cos (y)$ على $- 2 \sin (x) \sin (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 y' \sin (x) \sin (y) = - 2 \cos (x) \cos (y)$ على $- 2 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 2 y' \sin (x) \sin (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 y' \sin (x) \sin (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 2 \cos (x) \cos (y)}{- 2 \sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

خطوة 5.3.3.2

افصِل الكسور.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 5.3.3.3

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

خطوة 5.3.3.4

حوّل من $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ إلى $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$