حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$V = (15 - x) (8 - x) x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} ((15 - x) (8 - x) x)$

خطوة 2

مشتق $V$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $V'$ .

$V'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = (15 - x) (8 - x)$ و $g (x) = x$ .

$(15 - x) (8 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

خطوة 3.2.2

اضرب $15 - x$ في $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x \frac{d}{d x} [(15 - x) (8 - x)]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 15 - x$ و $g (x) = 8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [8 - x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) (- 1 \cdot 1) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x ((15 - x) \cdot - 1 + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $15 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.6.3

أعِد كتابة $- 1 (15 - x)$ بالصيغة $- (15 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [15 - x])$

خطوة 3.4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $15 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 3.4.8

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 3.4.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 3.4.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) (- 1 \cdot 1))$

خطوة 3.4.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.12.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) + (8 - x) \cdot - 1)$

خطوة 3.4.12.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $8 - x$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - 1 \cdot (8 - x))$

خطوة 3.4.12.3

أعِد كتابة $- 1 (8 - x)$ بالصيغة $- (8 - x)$ .

$(15 - x) (8 - x) + x (- (15 - x) - (8 - x))$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - (8 - x))$

خطوة 3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15 - - x - 1 \cdot 8 - - x)$

خطوة 3.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(15 - x) (8 - x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(15 - x) \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + (15 - x) (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$15 \cdot 8 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

اضرب $15$ في $8$ .

$120 - x \cdot 8 + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$120 - 8 x + 15 (- x) - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.3

اضرب $- 1$ في $15$ .

$120 - 8 x - 15 x - x (- x) + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$120 - 8 x - 15 x + 1 x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.5

اضرب $x$ في $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$120 - 8 x - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.9

أضف $1$ و $1$ .

$120 - 8 x - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.10

اطرح $15 x$ من $- 8 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 15) + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.11

اضرب $- 1$ في $15$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x \cdot - 15 + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.12

انقُل $- 15$ إلى يسار $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 \cdot x + x (- - x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x (1 x) + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.14

اضرب $x$ في $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x \cdot x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.15

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1} x^{1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.17

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{1 + 1} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.18

أضف $1$ و $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x (- 1 \cdot 8) + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.19

اضرب $- 1$ في $8$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} + x \cdot - 8 + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.20

انقُل $- 8$ إلى يسار $x$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 \cdot x + x (- - x)$

خطوة 3.5.7.21

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x (1 x)$

خطوة 3.5.7.22

اضرب $x$ في $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x \cdot x$

خطوة 3.5.7.23

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x$

خطوة 3.5.7.24

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1} x^{1}$

خطوة 3.5.7.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{1 + 1}$

خطوة 3.5.7.26

أضف $1$ و $1$ .

$120 - 23 x + x^{2} - 15 x + x^{2} - 8 x + x^{2}$

خطوة 3.5.7.27

اطرح $8 x$ من $- 15 x$ .

$120 - 23 x + x^{2} + x^{2} - 23 x + x^{2}$

خطوة 3.5.7.28

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$120 - 23 x + x^{2} + 2 x^{2} - 23 x$

خطوة 3.5.7.29

أضف $x^{2}$ و $2 x^{2}$ .

$120 - 23 x + 3 x^{2} - 23 x$

خطوة 3.5.7.30

اطرح $23 x$ من $- 23 x$ .

$120 + 3 x^{2} - 46 x$

خطوة 3.5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} - 46 x + 120$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$V' = 3 x^{2} - 46 x + 120$

خطوة 5

استبدِل $V'$ بـ $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 3 x^{2} - 46 x + 120$