حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

خطوة 2

مشتق $v'$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $v''$ .

$v''$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = 1 - t$ و $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = 1 + t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t^{2}$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

خطوة 3.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

خطوة 3.3.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

خطوة 3.3.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

خطوة 3.3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.3.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.11.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

خطوة 3.3.11.2

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

خطوة 3.3.11.3

أعِد كتابة $- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ بالصيغة $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.3

اجمع $t$ و $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.4

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.5

لكتابة $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.6

اجمع $(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ و $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1.1

أعِد ترتيب $1$ و $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.1.1.2

أعِد ترتيب $1$ و $- t$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.1.1.3

أعِد ترتيب $1$ و $t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.1.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ .

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.2.1

أخرِج العامل $t^{2} + 1$ من ${(t^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.3

اضرب $- t + 1$ في $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.4

انقُل $2$ إلى يسار $- t + 1$ .

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8

أعِد كتابة $\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.3

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.8.4.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.8.4.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.4.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.5.8.5

اطرح $2 t^{2}$ من $t^{2}$ .

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

خطوة 3.4.7

اضرب $- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

اضرب $\frac{1}{t^{2} + 1}$ في $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

خطوة 3.4.7.2

ارفع $t^{2} + 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

خطوة 3.4.7.3

ارفع $t^{2} + 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 3.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

خطوة 3.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{2}$ .

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $2 t$ .

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.11

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.13

أعِد كتابة $- (t^{2} - 2 t - 1)$ بالصيغة $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.15

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.16

اضرب $\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ في $1$ .

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $v'$ بـ $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$