حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$u = \frac{\sqrt{x}}{1 - x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1 - x})$

خطوة 3

مشتق $u$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $u'$ .

$u'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(1 - x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.7.3

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.12.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.14

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{(1 - x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.1.1

اضرب $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.2

اجمع $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.4

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.1.4.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.1.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.1.4.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.2

لكتابة $x^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.3

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.5

أضف $- x^{\frac{1}{2}}$ و $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.2.5.1

أعِد ترتيب $x^{\frac{1}{2}}$ و $2$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.2.5.2

أضف $- x^{\frac{1}{2}}$ و $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.1

اضرب $\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ في $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.2

اجمع.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + 2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.6

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.3.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.6.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + x^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.6.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{2}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.6.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1 + x^{1}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.3.7

بسّط $x^{1}$ .

$\frac{1 + x}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 4.15.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$u' = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $u'$ بـ $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2}}$