حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = \sin (θ^{2}) \cos (6 θ)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\sin (θ^{2}) \cos (6 θ))$

خطوة 2

مشتق $r$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $r'$ .

$r'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ هو $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ حيث $f (θ) = \sin (θ^{2})$ و $g (θ) = \cos (6 θ)$ .

$\sin (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (6 θ)] + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \cos (θ)$ و $g (θ) = 6 θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $6 θ$ .

$\sin (θ^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $6 θ$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $θ$ ، إذن مشتق $6 θ$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) (6 \frac{d}{d θ} [θ])) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.3.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \cdot 1) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ هو $f' (g (θ)) g' (θ)$ حيث $f (θ) = \sin (θ)$ و $g (θ) = θ^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $θ^{2}$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

خطوة 3.4.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $θ^{2}$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \cos (θ^{2}) (2 θ)$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$r' = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

خطوة 5

استبدِل $r'$ بـ $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$