حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s = {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2

مشتق $s$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $s'$ .

$s'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ و $g (t) = 6 t - t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.5.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{3} {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.6.3

انقُل ${(6 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [6 t - t^{2}]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 t - t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

خطوة 3.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $6 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

خطوة 3.10

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

خطوة 3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

خطوة 3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - (2 t))$

خطوة 3.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$

خطوة 3.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (6 - 2 t)$ .

$(6 - 2 t) \frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.2

اضرب $6 - 2 t$ في $\frac{2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 - 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{(2 (3) - 2 t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 t$ .

$\frac{(2 (3) + 2 (- t)) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (3) + 2 (- t)$ .

$\frac{2 (3 - t) \cdot 2}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 3.14.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$s' = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 5

استبدِل $s'$ بـ $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{4 (3 - t)}{3 {(6 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$