حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P = 9 t^{5} \ln (8 t)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (9 t^{5} \ln (8 t))$

خطوة 2

مشتق $P$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $P'$ .

$P'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $9 t^{5} \ln (8 t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{5} \ln (8 t)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{5}$ و $g (t) = \ln (8 t)$ .

$9 (t^{5} \frac{d}{d t} [\ln (8 t)] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = 8 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 t$ .

$9 (t^{5} (\frac{1}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اجمع $\frac{1}{8 t}$ و $t^{5}$ .

$9 (\frac{t^{5}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $t^{5}$ و $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $t$ من $t^{5}$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{8 t} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

أخرِج العامل $t$ من $8 t$ .

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 (\frac{t \cdot t^{4}}{t \cdot 8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 (\frac{t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [8 t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 (\frac{t^{4}}{8} (8 \frac{d}{d t} [t]) + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اجمع $8$ و $\frac{t^{4}}{8}$ .

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 (\frac{8 t^{4}}{8} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.4.2.2

اقسِم $t^{4}$ على $1$ .

$9 (t^{4} \frac{d}{d t} [t] + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 (t^{4} \cdot 1 + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.6

اضرب $t^{4}$ في $1$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) \frac{d}{d t} [t^{5}])$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$9 (t^{4} + \ln (8 t) (5 t^{4}))$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 t^{4} + 9 (\ln (8 t) (5 t^{4}))$

خطوة 3.5.2

اضرب $5$ في $9$ .

$9 t^{4} + 45 \ln (8 t) t^{4}$

خطوة 3.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$P' = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$

خطوة 5

استبدِل $P'$ بـ $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = 9 t^{4} + 45 t^{4} \ln (8 t)$