حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (r) + \cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [r]$ بالصيغة $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

خطوة 2.3

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = r x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = r$ و $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

خطوة 3.3.2

اضرب $r$ في $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [r]$ بالصيغة $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $r'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.2.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.2.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.1.1.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $r'$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $x r' e^{r x}$ من كلا المتعادلين.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.3.3.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

خطوة 5.4

أضف $\csc^{2} (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

خطوة 5.5

أخرِج العامل $r'$ من $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $r'$ من $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

خطوة 5.5.2

أخرِج العامل $r'$ من $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

خطوة 5.5.3

أخرِج العامل $r'$ من $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

خطوة 5.6

أعِد كتابة $- 1 \sin (r)$ بالصيغة $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

خطوة 5.7

اقسِم كل حد في $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ على $- \sin (r) - x e^{r x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اقسِم كل حد في $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ على $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.2.1.2

اقسِم $r'$ على $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.1.1.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.3.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.3.1.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

خطوة 5.7.3.1.3

اضرب $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ في $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.2

لكتابة $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.3.1

اضرب $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ في $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

خطوة 5.7.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

خطوة 5.7.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

خطوة 5.7.3.8

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.3.8.1

أعِد كتابة $- (\sin (r) + x e^{r x})$ بالصيغة $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

خطوة 5.7.3.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

خطوة 6

استبدِل $r'$ بـ $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$