حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = 7 \ln (\sqrt[3]{t})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{3}}$ .

$r = 7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (r) = \frac{d}{d t} (7 \ln (t^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 3

مشتق $r$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $r'$ .

$r'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $7 \ln (t^{\frac{1}{3}})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$7 (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{\frac{1}{3}}$ .

$7 (\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ و $7$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 4.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 4.10

اضرب $\frac{7}{t^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{t^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

خطوة 4.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

انقُل $3$ إلى يسار $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 t^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot t^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 4.11.2

انقُل $t^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 4.12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $t^{\frac{1}{3}}$ في $t^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1.1

انقُل $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{7}{3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 4.12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 4.12.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}$

خطوة 4.12.1.4

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{7}{3 t^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 4.12.1.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{7}{3 t^{1}}$

خطوة 4.12.2

بسّط $3 t^{1}$ .

$\frac{7}{3 t}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$r' = \frac{7}{3 t}$

خطوة 6

استبدِل $r'$ بـ $\frac{d r}{d t}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{7}{3 t}$