حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$r = M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d M} (r) = \frac{d}{d M} (M^{2} (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}))$

خطوة 2

مشتق $r$ بالنسبة إلى $M$ يساوي $r'$ .

$r'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d M} [f (M) g (M)]$ هو $f (M) \frac{d}{d M} [g (M)] + g (M) \frac{d}{d M} [f (M)]$ حيث $f (M) = M^{2}$ و $g (M) = \frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [\frac{c}{2} - \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ بالنسبة إلى $M$ هو $\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} (\frac{d}{d M} [\frac{c}{2}] + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $\frac{c}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $M$ ، فإن مشتق $\frac{c}{2}$ بالنسبة إلى $M$ هو $0$ .

$M^{2} (0 + \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}]$ .

$M^{2} \frac{d}{d M} [- \frac{M}{3}] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.4

بما أن $- \frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $M$ ، إذن مشتق $- \frac{M}{3}$ بالنسبة إلى $M$ يساوي $- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]$ .

$M^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d M} [M]) + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.5

اجمع $M^{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \frac{d}{d M} [M] + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ هو $n M^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} \cdot 1 + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) \frac{d}{d M} [M^{2}]$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ هو $n M^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) (2 M)$

خطوة 3.2.9

انقُل $2$ إلى يسار $\frac{c}{2} - \frac{M}{3}$ .

$- \frac{M^{2}}{3} + 2 \cdot (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$

خطوة 3.3

جمّع $- \frac{M^{2}}{3}$ و $2 (\frac{c}{2} - \frac{M}{3}) M$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد ترتيب $- \frac{M^{2}}{3}$ و $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - \frac{M^{2}}{3}$

خطوة 3.3.2

لكتابة $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot \frac{3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

خطوة 3.3.3

اجمع $2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3}{3} - \frac{M^{2}}{3}$

خطوة 3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) \cdot 3 - M^{2}}{3}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 M (- \frac{M}{3} + \frac{c}{2}) - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 M (- \frac{M}{3}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{M}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{6 M \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6 M$ .

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 M) \frac{- M}{3} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 M (- M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 M \cdot M + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.3

ارفع $M$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.4

ارفع $M$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (M^{1} M^{1}) + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 M^{1 + 1} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 6 M \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.7.1

أخرِج العامل $2$ من $6 M$ .

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 M^{2} + 2 (3 M) \frac{c}{2} - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 M^{2} + 3 M c - M^{2}}{3}$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $M^{2}$ من $- 2 M^{2}$ .

$\frac{- 3 M^{2} + 3 M c}{3}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $3 M$ من $- 3 M^{2} + 3 M c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أخرِج العامل $3 M$ من $- 3 M^{2}$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M c}{3}$

خطوة 3.5.3.2

أخرِج العامل $3 M$ من $3 M c$ .

$\frac{3 M (- M) + 3 M (c)}{3}$

خطوة 3.5.3.3

أخرِج العامل $3 M$ من $3 M (- M) + 3 M (c)$ .

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

خطوة 3.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 M (- M + c)}{3}$

خطوة 3.5.4.2

اقسِم $M (- M + c)$ على $1$ .

$M (- M + c)$

خطوة 3.5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$M (- M) + M c$

خطوة 3.5.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- M \cdot M + M c$

خطوة 3.5.7

اضرب $M$ في $M$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

انقُل $M$ .

$- (M \cdot M) + M c$

خطوة 3.5.7.2

اضرب $M$ في $M$ .

$- M^{2} + M c$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$r' = - M^{2} + M c$

خطوة 5

استبدِل $r'$ بـ $\frac{d r}{d M}$ .

$\frac{d r}{d M} = - M^{2} + M c$