حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{5}}{x^{3} - 3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{5}}{x^{3} - 3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x^{3} - 3$ .

$\frac{(x^{3} - 3) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{(x^{3} - 3) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

انقُل $5$ إلى يسار $x^{3} - 3$ .

$\frac{5 \cdot (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3]}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - x^{5} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.6.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{5} x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $x^{5}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 (x^{2} x^{5})}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{2 + 5}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $2$ و $5$ .

$\frac{5 (x^{3} - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(5 x^{3} + 5 \cdot - 3) x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{3} x^{4} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

اضرب $x^{3}$ في $x^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1.1

انقُل $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{3}) + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{5 x^{4 + 3} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3.1.1.3

أضف $4$ و $3$ .

$\frac{5 x^{7} + 5 \cdot - 3 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3.1.2

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{5 x^{7} - 15 x^{4} - 3 x^{7}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2

اطرح $3 x^{7}$ من $5 x^{7}$ .

$\frac{2 x^{7} - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $x^{4}$ من $2 x^{7} - 15 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $2 x^{7}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) - 15 x^{4}}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 15 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} (2 x^{3}) + x^{4} \cdot - 15$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{4} (2 x^{3} - 15)}{{(x^{3} - 3)}^{2}}$