حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (2 x)}{\sin^{2} (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \cos (2 x)$ و $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.4.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - \cos (2 x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.7

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- 2 \sin (2 x)) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (2 x) \sin (x) \cos (x)}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.1.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \sin^{2} (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) - 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.1.2

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \cos (x) \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.1.3

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x)) + 2 \sin (x) (- \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x) \sin (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sin (x) \sin (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \cos (x) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\sin (x) \sin (2 x)) - (\cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{2 \sin (x) (- (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{2 \sin (x) \cdot - 1 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.3.3.1

أخرِج السالب.

$\frac{- (2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.3.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 2 (\sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

$\frac{- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.4

احذِف العامل المشترك لـ $\sin (x)$ و $\sin^{4} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $- 2 \sin (x) (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin^{4} (x)}$

خطوة 3.8.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.2.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) (- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x)))}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 (\sin (x) \sin (2 x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{- 2 (\sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 (2 \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.3

اضرب $2 \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.1.3.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.3.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 (2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cos (2 x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.4

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.6

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ و $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 (2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.2.2

اطرح $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ من $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\frac{- 2 (0 + \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.5.2.3

أضف $0$ و $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

خطوة 3.8.6

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{\sin (x) \sin^{2} (x)}$

خطوة 3.8.7

افصِل الكسور.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

خطوة 3.8.8

حوّل من $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ إلى $\cot (x)$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

خطوة 3.8.9

اضرب في $1$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (x) \cdot 1} \cot (x)$

خطوة 3.8.10

افصِل الكسور.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cot (x)$

خطوة 3.8.11

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \csc^{2} (x) \cot (x)$

خطوة 3.8.12

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$