حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{2} + 6 \ln (x y) = 15$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + 6 \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (15)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 6 \ln (x y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 \ln (x y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 \ln (x y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1))$

خطوة 2.3.6

اضرب $y$ في $1$ .

$4 x + 6 (\frac{1}{x y} (x y' + y))$

خطوة 2.3.7

اجمع $\frac{1}{x y}$ و $6$ .

$4 x + \frac{6}{x y} (x y' + y)$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x + \frac{6}{x y} (x y') + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $x$ و $\frac{6}{x y}$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6}{x y} y' + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2.2

اجمع $\frac{x \cdot 6}{x y}$ و $y'$ .

$4 x + \frac{x \cdot 6 y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2.3

انقُل $6$ إلى يسار $x$ .

$4 x + \frac{6 \cdot x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x + \frac{6 x y'}{x y} + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x y} y$

خطوة 2.4.2.5

اجمع $\frac{6}{x y}$ و $y$ .

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

خطوة 2.4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6 y}{x y}$

خطوة 2.4.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x}$

خطوة 3

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x + \frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{6 y'}{y} + \frac{6}{x} = - 4 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $\frac{6}{x}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{6 y'}{y} = - 4 x - \frac{6}{x}$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y'}{y} y = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 y' = (- 4 x - \frac{6}{x}) y$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط $(- 4 x - \frac{6}{x}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 y' = - 4 x y - \frac{6}{x} y$

خطوة 5.3.2.1.1.2

اجمع $y$ و $\frac{6}{x}$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{y \cdot 6}{x}$

خطوة 5.3.2.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $y$ .

$6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $6 y' = - 4 x y - \frac{6 y}{x}$ على $6$ .

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y'}{6} = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x y}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{6} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 (3)} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 2 x y)}{2 \cdot 3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- \frac{6 y}{x}}{6}$

خطوة 5.4.3.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 5.4.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{6 y}{x}$ إلى بسط الكسر.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- 6 y}{x} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 5.4.3.1.4.2

أخرِج العامل $6$ من $- 6 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 5.4.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{6 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{6}$

خطوة 5.4.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{2 x y}{3} + \frac{- y}{x}$

خطوة 5.4.3.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{3} - \frac{y}{x}$