حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(2 x - 1)}^{3} {(x + 7)}^{- 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(2 x - 1)}^{3}$ و $g (x) = {(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 3}] + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 3}$ و $g (x) = x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 7$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x + 7]) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 3.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4} \cdot 1) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 3.4.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{3}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + {(x + 7)}^{- 3} (3 {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x + 7)}^{- 3}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $1$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} (2 + 0)$

خطوة 5.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أضف $2$ و $0$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 3 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2} \cdot 2$

خطوة 5.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 {(x + 7)}^{- 4}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 {(x + 7)}^{- 3} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{{(x + 7)}^{4}}$ .

${(2 x - 1)}^{3} \frac{- 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

${(2 x - 1)}^{3} (- \frac{3}{{(x + 7)}^{4}}) + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3.3

اجمع ${(2 x - 1)}^{3}$ و $\frac{3}{{(x + 7)}^{4}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{3} \cdot 3}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3.4

انقُل $3$ إلى يسار ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + 6 \frac{1}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3.5

اجمع $6$ و $\frac{1}{{(x + 7)}^{3}}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6}{{(x + 7)}^{3}} {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 6.3.6

اجمع $\frac{6}{{(x + 7)}^{3}}$ و ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$

خطوة 6.3.7

لكتابة $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

خطوة 6.3.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(x + 7)}^{4}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.1

اضرب $\frac{6 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{3}}$ في $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} (x + 7)}$

خطوة 6.3.8.2

اضرب ${(x + 7)}^{3}$ في $x + 7$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.2.1

اضرب ${(x + 7)}^{3}$ في $x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.8.2.1.1

ارفع $x + 7$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3} {(x + 7)}^{1}}$

خطوة 6.3.8.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{3 + 1}}$

خطوة 6.3.8.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$- \frac{3 {(2 x - 1)}^{3}}{{(x + 7)}^{4}} + \frac{6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $3 {(2 x - 1)}^{2}$ من $- 3 {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أخرِج العامل $3 {(2 x - 1)}^{2}$ من $- 3 {(2 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.1.2

أخرِج العامل $3 {(2 x - 1)}^{2}$ من $6 {(2 x - 1)}^{2} (x + 7)$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.1.3

أخرِج العامل $3 {(2 x - 1)}^{2}$ من $3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1)) + 3 {(2 x - 1)}^{2} (2 (x + 7))$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x - 1) + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- (2 x) - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x - - 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 (x + 7))}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 2 \cdot 7)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.6

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (- 2 x + 1 + 2 x + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.7

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (0 + 1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.8

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} (1 + 14)}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.9

أضف $1$ و $14$ .

$\frac{3 {(2 x - 1)}^{2} \cdot 15}{{(x + 7)}^{4}}$

خطوة 6.4.10

اضرب $15$ في $3$ .

$\frac{45 {(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 7)}^{4}}$