حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 t {(2 t + 3)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (5 t {(2 t + 3)}^{3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t {(2 t + 3)}^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t {(2 t + 3)}^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 (t \frac{d}{d t} [{(2 t + 3)}^{3}] + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = 2 t + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 t + 3$ .

$5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t + 3$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 3]) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t + 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d t} [3])) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} (2 + 0)) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$5 (t (3 {(2 t + 3)}^{2} \cdot 2) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 3.4.8

اضرب ${(2 t + 3)}^{3}$ في $1$ .

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2}) + {(2 t + 3)}^{3})$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (t (6 {(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

خطوة 3.5.2

اضرب $6$ في $5$ .

$30 (t ({(2 t + 3)}^{2})) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $5 {(2 t + 3)}^{2}$ من $30 t {(2 t + 3)}^{2} + 5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

أخرِج العامل $5 {(2 t + 3)}^{2}$ من $30 t {(2 t + 3)}^{2}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{3}$

خطوة 3.5.3.2

أخرِج العامل $5 {(2 t + 3)}^{2}$ من $5 {(2 t + 3)}^{3}$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$

خطوة 3.5.3.3

أخرِج العامل $5 {(2 t + 3)}^{2}$ من $5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t) + 5 {(2 t + 3)}^{2} (2 t + 3)$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (6 t + 2 t + 3)$

خطوة 3.5.4

أضف $6 t$ و $2 t$ .

$5 {(2 t + 3)}^{2} (8 t + 3)$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة ${(2 t + 3)}^{2}$ بالصيغة $(2 t + 3) (2 t + 3)$ .

$5 ((2 t + 3) (2 t + 3)) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.6

وسّع $(2 t + 3) (2 t + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (2 t (2 t + 3) + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t + 3)) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (2 t (2 t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1.2.1

انقُل $t$ .

$5 (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$5 (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$5 (4 t^{2} + 2 t \cdot 3 + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.4

اضرب $3$ في $2$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 3 (2 t) + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.5

اضرب $2$ في $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 3 \cdot 3) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.1.6

اضرب $3$ في $3$ .

$5 (4 t^{2} + 6 t + 6 t + 9) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.7.2

أضف $6 t$ و $6 t$ .

$5 (4 t^{2} + 12 t + 9) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$(5 (4 t^{2}) + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.9.1

اضرب $4$ في $5$ .

$(20 t^{2} + 5 (12 t) + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.9.2

اضرب $12$ في $5$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 5 \cdot 9) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.9.3

اضرب $5$ في $9$ .

$(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$

خطوة 3.5.10

وسّع $(20 t^{2} + 60 t + 45) (8 t + 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$20 t^{2} (8 t) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$20 \cdot 8 t^{2} t + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.11.2.1

انقُل $t$ .

$20 \cdot 8 (t \cdot t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.2.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.11.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$20 \cdot 8 (t^{1} t^{2}) + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$20 \cdot 8 t^{1 + 2} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$20 \cdot 8 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.3

اضرب $20$ في $8$ .

$160 t^{3} + 20 t^{2} \cdot 3 + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.4

اضرب $3$ في $20$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 t (8 t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t \cdot t + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.6

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.11.6.1

انقُل $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 (t \cdot t) + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.6.2

اضرب $t$ في $t$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 60 \cdot 8 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.7

اضرب $60$ في $8$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 60 t \cdot 3 + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.8

اضرب $3$ في $60$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 45 (8 t) + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.9

اضرب $8$ في $45$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 45 \cdot 3$

خطوة 3.5.11.10

اضرب $45$ في $3$ .

$160 t^{3} + 60 t^{2} + 480 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

خطوة 3.5.12

أضف $60 t^{2}$ و $480 t^{2}$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 180 t + 360 t + 135$

خطوة 3.5.13

أضف $180 t$ و $360 t$ .

$160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 160 t^{3} + 540 t^{2} + 540 t + 135$