حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 = 3 x + 5 x y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4) = \frac{d}{d x} (3 x + 5 x y^{2})$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 5 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 + 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$3 + 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 + 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 + 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 + 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 + 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 3.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 + 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 3.3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$3 + 5 (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 + 5 (2 x y y') + 5 y^{2}$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $5$ .

$3 + 10 x y y' + 5 y^{2}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$0 = 5 y^{2} + 10 x y y' + 3$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$ .

$5 y^{2} + 10 x y y' + 3 = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $5 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$10 x y y' + 3 = - 5 y^{2}$

خطوة 5.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ على $10 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $10 x y y' = - 5 y^{2} - 3$ على $10 x y$ .

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x y y'}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 y^{2}$ .

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 x y$ .

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $2 x y$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{2 x} + \frac{- 3}{10 x y}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x} - \frac{3}{10 x y}$