حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

اجمع $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6.4

اطرح $1$ من $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.14

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.15

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.15.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.15.3

اطرح $1$ من $1$ .

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.15.4

اقسِم $0$ على $2$ .

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.16

بسّط $x^{0}$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

خطوة 4.18

اضرب $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ في $1$ .

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 4.19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4.19.2

اجمع $7$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4.19.3

أعِد ترتيب الحدود.

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط $(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

بسّط $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ بنقل $7$ داخل اللوغاريتم.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2.2.1.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $7$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

خطوة 6.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اجمع $\frac{7}{2}$ و $y$ .

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

خطوة 6.2.2.1.2.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ .

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$