حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{y^{3}}{27} + \frac{9}{4 y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{27}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{27}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y^{3}}{27}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{27} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{27} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{27} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{27} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{27}$ .

$\frac{3}{27} (y^{2} y') + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.5

اجمع $y^{2}$ و $\frac{3}{27}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3}{27} y' + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.6

اجمع $\frac{y^{2} \cdot 3}{27}$ و $y'$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.7

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\frac{3 \cdot y^{2} y'}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{27} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (y^{2} y')}{3 \cdot 9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{9}{4 y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $\frac{9}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9}{4 y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 1$ و $g (x) = y$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

خطوة 3.3.5

اضرب $y$ في $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

خطوة 3.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{0 - y'}{y^{2}}$

خطوة 3.3.7

اطرح $y'$ من $0$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} \cdot \frac{- y'}{y^{2}}$

خطوة 3.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{y^{2} y'}{9} + \frac{9}{4} (- \frac{y'}{y^{2}})$

خطوة 3.3.9

اضرب $\frac{9}{4}$ في $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$

خطوة 5.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$9, 4 y^{2}, 1$

خطوة 5.2.2

Since $9, 4 y^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}$ .

خطوة 5.2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 5.2.4

$9$ لها العاملان $3$ و $3$ .

$3 \cdot 3$

خطوة 5.2.5

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2$

خطوة 5.2.6

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 5.2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $9, 4, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

خطوة 5.2.8

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 3 \cdot 3$

خطوة 5.2.8.2

اضرب $4$ في $3$ .

$12 \cdot 3$

خطوة 5.2.8.3

اضرب $12$ في $3$ .

$36$

خطوة 5.2.9

عوامل $y^{2}$ هي $y \cdot y$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $y$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$y^{2} = y \cdot y$

تحدث $y$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 5.2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y \cdot y$

خطوة 5.2.11

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2}$

خطوة 5.2.12

المضاعف المشترك الأصغر لـ $9, 4 y^{2}, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $36$ في الجزء المتغير.

$36 y^{2}$

خطوة 5.3

اضرب كل حد في $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ في $36 y^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب كل حد في $\frac{y^{2} y'}{9} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} = 1$ في $36 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y'}{9} (36 y^{2}) - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$36 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $9$ من $36$ .

$9 (4) \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 \cdot 4 \frac{y^{2} y'}{9} y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (y^{2} y') y^{2} - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.3

اضرب $y^{2}$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

انقُل $y^{2}$ .

$4 (y^{2} y^{2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (y^{2 + 2} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$4 (y^{4} y') - \frac{9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4 y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{9 y'}{4 y^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (36 y^{2}) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.4.2

أخرِج العامل $4 y^{2}$ من $36 y^{2}$ .

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} (9)) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 y^{4} y' + \frac{- 9 y'}{4 y^{2}} (4 y^{2} \cdot 9) = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 y^{4} y' - 9 y' \cdot 9 = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.2.1.5

اضرب $9$ في $- 9$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 1 (36 y^{2})$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $36 y^{2}$ في $1$ .

$4 y^{4} y' - 81 y' = 36 y^{2}$

خطوة 5.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{4} y' - 81 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أخرِج العامل $y'$ من $4 y^{4} y'$ .

$y' (4 y^{4}) - 81 y' = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.1.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 81 y'$ .

$y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81 = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.1.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (4 y^{4}) + y' \cdot - 81$ .

$y' (4 y^{4} - 81) = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة $4 y^{4}$ بالصيغة ${(2 y^{2})}^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 81) = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$y' ({(2 y^{2})}^{2} - 9^{2}) = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2 y^{2}$ و $b = 9$ .

$y' ((2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)) = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$

خطوة 5.4.5

اقسِم كل حد في $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ على $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9) = 36 y^{2}$ على $(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)$ .

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

خطوة 5.4.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{2} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

خطوة 5.4.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

خطوة 5.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y^{2} - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 y^{2} - 9)}{2 y^{2} - 9} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

خطوة 5.4.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{36 y^{2}}{(2 y^{2} + 9) (2 y^{2} - 9)}$