حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = 2 \ln (y^{2} - 3)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (y^{2} - 3))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \ln (y^{2} - 3)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (y^{2} - 3)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y^{2} - 3$ .

$2 (\frac{1}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $\frac{1}{y^{2} - 3}$ و $2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} \frac{d}{d x} [y^{2} - 3]$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3])$

خطوة 3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y' + 0)$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $2 y y'$ و $0$ .

$\frac{2}{y^{2} - 3} (2 y y')$

خطوة 3.7.2

اجمع $2$ و $\frac{2}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{y^{2} - 3} (y y')$

خطوة 3.7.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{y^{2} - 3} (y y')$

خطوة 3.7.4

اجمع $y$ و $\frac{4}{y^{2} - 3}$ .

$\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3} y'$

خطوة 3.7.5

اجمع $\frac{y \cdot 4}{y^{2} - 3}$ و $y'$ .

$\frac{y \cdot 4 y'}{y^{2} - 3}$

خطوة 3.7.6

انقُل $4$ إلى يسار $y$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{4 y y'}{y^{2} - 3}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} = 1$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في $y^{2} - 3$ .

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y'}{y^{2} - 3} (y^{2} - 3) = 1 (y^{2} - 3)$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 y y' = 1 (y^{2} - 3)$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $y^{2} - 3$ في $1$ .

$4 y y' = y^{2} - 3$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 y y' = y^{2} - 3$ على $4 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 y y' = y^{2} - 3$ على $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{4 y} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 4} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{4} + \frac{- 3}{4 y}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4} - \frac{3}{4 y}$