حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{2} + 3 y = 4 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (4 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{2} + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [3 y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + 3 y' = 4$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' + 3 y' = 4 - 2 y^{2} x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y' + 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + 3 y' = 4 - 2 y^{2} x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y) + y' \cdot 3 = 4 - 2 y^{2} x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{2} y) + y' \cdot 3$ .

$y' (2 x^{2} y + 3) = 4 - 2 y^{2} x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y + 3) = 4 - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y + 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y + 3) = 4 - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y + 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y + 3)}{2 x^{2} y + 3} = \frac{4}{2 x^{2} y + 3} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{2} y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{2} y + 3)}{2 x^{2} y + 3} = \frac{4}{2 x^{2} y + 3} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4}{2 x^{2} y + 3} + \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{4 - 2 y^{2} x}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4 - 2 y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$y' = \frac{2 (2) - 2 y^{2} x}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (2) + 2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 5.3.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2) + 2 (- y^{2} x)$ .

$y' = \frac{2 (2 - y^{2} x)}{2 x^{2} y + 3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (2 - y^{2} x)}{2 x^{2} y + 3}$