حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 + 3 x = \sin (x y^{4})$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (6 + 3 x) = \frac{d}{d x} (\sin (x y^{4}))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $3$ .

$3$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x y^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x y^{4}$ .

$\cos (x y^{4}) \frac{d}{d x} [x y^{4}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{4}$ .

$\cos (x y^{4}) (x \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\cos (x y^{4}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\cos (x y^{4}) (x (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\cos (x y^{4}) (x (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\cos (x y^{4}) (4 \cdot x y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4} \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب $y^{4}$ في $1$ .

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y' + y^{4})$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x y^{4}) (4 x y^{3} y') + \cos (x y^{4}) y^{4}$

خطوة 3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 = 4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$ .

$4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $4 y^{3} x \cos (x y^{4}) y' + y^{4} \cos (x y^{4})$ .

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) + y^{4} \cos (x y^{4}) = 3$

خطوة 5.3

اطرح $y^{4} \cos (x y^{4})$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ على $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 y^{3} x y' \cos (x y^{4}) = 3 - y^{4} \cos (x y^{4})$ على $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ .

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} x y' \cos (x y^{4})}{y^{3} x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' \cos (x y^{4})}{x \cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \cos (x y^{4})}{\cos (x y^{4})} = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.2.4.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \cdot \frac{1}{\cos (x y^{4})} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (x y^{4})}$ إلى $\sec (x y^{4})$ .

$y' = \frac{3}{4 y^{3} x} \sec (x y^{4}) + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.3

اجمع $\frac{3}{4 y^{3} x}$ و $\sec (x y^{4})$ .

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y^{4} \cos (x y^{4})}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4}$ و $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $- y^{4} \cos (x y^{4})$ .

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{4 y^{3} x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $4 y^{3} x \cos (x y^{4})$ .

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

خطوة 5.4.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{y^{3} (- y \cos (x y^{4}))}{y^{3} (4 x \cos (x y^{4}))}$

خطوة 5.4.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x y^{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y \cos (x y^{4})}{4 x \cos (x y^{4})}$

خطوة 5.4.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} + \frac{- y}{4 x}$

خطوة 5.4.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sec (x y^{4})}{4 y^{3} x} - \frac{y}{4 x}$