حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8 = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 4 x y^{2} + y^{4} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$6 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$6 x - 4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x - 4 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$6 x - 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x - 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$6 x - 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x - 4 (2 x y y' + y^{2}) + 4 y^{3} y' + 0$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x - 4 (2 x y y') - 4 y^{2} + 4 y^{3} y' + 0$

خطوة 2.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اضرب $2$ في $- 4$ .

$6 x - 8 (x y y') - 4 y^{2} + 4 y^{3} y' + 0$

خطوة 2.6.2.2

أضف $6 x - 8 x y y' - 4 y^{2} + 4 y^{3} y'$ و $0$ .

$6 x - 8 x y y' - 4 y^{2} + 4 y^{3} y'$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 4 y^{2} - 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أضف $4 y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 8 x y y' + 4 y^{3} y' + 6 x = 4 y^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$- 8 x y y' + 4 y^{3} y' = 4 y^{2} - 6 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $- 8 x y y' + 4 y^{3} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $- 8 x y y'$ .

$4 y y' (- 2 x) + 4 y^{3} y' = 4 y^{2} - 6 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' (- 2 x) + 4 y y' y^{2} = 4 y^{2} - 6 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y y' (- 2 x) + 4 y y' y^{2}$ .

$4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$ على $4 y (- 2 x + y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 y y' (- 2 x + y^{2}) = 4 y^{2} - 6 x$ على $4 y (- 2 x + y^{2})$ .

$\frac{4 y y' (- 2 x + y^{2})}{4 y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y' (- 2 x + y^{2})}{4 y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (- 2 x + y^{2})}{y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (- 2 x + y^{2})}{y (- 2 x + y^{2})} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- 2 x + y^{2})}{- 2 x + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2 x + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 2 x + y^{2})}{- 2 x + y^{2}} = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 y^{2}}{4 y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y^{2}}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + y^{2})} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{- 6 x}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{4 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 y (- 2 x + y^{2})$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 y (- 2 x + y^{2}))}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2 y (- 2 x + y^{2}))}$

خطوة 5.3.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} + \frac{- 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.2

لكتابة $\frac{y}{- 2 x + y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{y}{- 2 x + y^{2}} \cdot \frac{2 y}{2 y} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(- 2 x + y^{2}) \cdot 2 y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

اضرب $\frac{y}{- 2 x + y^{2}}$ في $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{(- 2 x + y^{2}) (2 y)} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- 2 x + y^{2}) (2 y)$ .

$y' = \frac{y (2 y)}{2 y (- 2 x + y^{2})} - \frac{3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y (2 y) - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{2 y \cdot y - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.2.1

انقُل $y$ .

$y' = \frac{2 (y \cdot y) - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.5.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- 2 x + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x) + y^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x) - 1 (- y^{2}))}$

خطوة 5.3.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- (2 x - y^{2}))}$

خطوة 5.3.3.6.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (2 x - y^{2})$ بالصيغة $- 1 (2 x - y^{2})$ .

$y' = \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (- 1 (2 x - y^{2}))}$

خطوة 5.3.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{(2 y) (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.3.3.6.4.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{2 y^{2} - 3 x}{(2 y) (2 x - y^{2})}$ .

$y' = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} - 3 x}{2 y (2 x - y^{2})}$