حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{3} - 5 x y^{2} = \cos (x y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} - 5 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (\cos (x y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - 5 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

خطوة 2.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$6 x^{2} - 5 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{2} - 5 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 2.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$6 x^{2} - 5 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 2.3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$6 x^{2} - 5 (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x^{2} - 5 (2 x y y') - 5 y^{2}$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$6 x^{2} - 10 x y y' - 5 y^{2}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' = - x y' \sin (x y) - y \sin (x y)$

خطوة 5.2

أضف $x y' \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x^{2} - 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y)$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $6 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 5 y^{2} - 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أضف $5 y^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- 10 x y y' + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x y'$ من $- 10 x y y' + x y' \sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x y'$ من $- 10 x y y'$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' (- 10 y) + x y' \sin (x y)$ .

$x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ على $x (- 10 y + \sin (x y))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $x y' (- 10 y + \sin (x y)) = - y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}$ على $x (- 10 y + \sin (x y))$ .

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (- 10 y + \sin (x y))}{x (- 10 y + \sin (x y))} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 10 y + \sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 10 y + \sin (x y))}{- 10 y + \sin (x y)} = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 6 x^{2}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{x (- 6 x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{- 6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.2

لكتابة $- \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)} \cdot \frac{x}{x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (- 10 y + \sin (x y))$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

اضرب $\frac{6 x}{- 10 y + \sin (x y)}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{(- 10 y + \sin (x y)) x} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(- 10 y + \sin (x y)) x$ .

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x (- 10 y + \sin (x y))} - \frac{6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x \cdot x}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.5.1

انقُل $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 (x \cdot x)}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))} + \frac{5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y \sin (x y) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - 6 x^{2} + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y)) - (6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y \sin (x y)) - (6 x^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) + 5 y^{2}}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $5 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y \sin (x y) + 6 x^{2}) - (- 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.12

أعِد كتابة $- (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 10 y + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- 10 y$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) + \sin (x y))}$

خطوة 5.5.3.14

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y) - 1 (- \sin (x y)))}$

خطوة 5.5.3.15

أخرِج العامل $- 1$ من $- (10 y) - 1 (- \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- (10 y - \sin (x y)))}$

خطوة 5.5.3.16

أعِد كتابة $- (10 y - \sin (x y))$ بالصيغة $- 1 (10 y - \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

خطوة 5.5.3.17

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- 1 (y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2})}{x (- 1 (10 y - \sin (x y)))}$

خطوة 5.5.3.18

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \sin (x y) + 6 x^{2} - 5 y^{2}}{x (10 y - \sin (x y))}$