حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = y - x$ .

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1.1

اطرح $y y'$ من $y y'$ .

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.3.1.2

أضف $- x y'$ و $0$ .

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.3.2

اضرب $- y \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.3.2.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

خطوة 2.8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x y'$ .

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8.6

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x y') - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8.8

أعِد كتابة $- (x y' - y)$ بالصيغة $- 1 (x y' - y)$ .

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 3.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ على $- 1$ .

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

خطوة 5.1.2.2

اقسِم $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ على $1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

خطوة 5.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot (2 x)$ بالصيغة $- (2 x)$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

خطوة 5.2

اضرب كلا الطرفين في ${(- x + y)}^{2}$ .

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط $\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(- x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

خطوة 5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

خطوة 5.3.1.2

أعِد ترتيب $x$ و $y'$ .

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط $- 2 x {(- x + y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أعِد الكتابة.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

خطوة 5.4.1.2

أعِد كتابة ${(- x + y)}^{2}$ بالصيغة $(- x + y) (- x + y)$ .

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

خطوة 5.4.1.3

وسّع $(- x + y) (- x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

خطوة 5.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

خطوة 5.4.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.1.2.1

انقُل $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

خطوة 5.4.1.4.1.6

اضرب $y$ في $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

خطوة 5.4.1.4.2

اطرح $y x$ من $- x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.4.2.1

انقُل $y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

خطوة 5.4.1.4.2.2

اطرح $x y$ من $- x y$ .

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

خطوة 5.4.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.6.2.1

انقُل $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.6.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.7.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.1.7.2

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

خطوة 5.4.2

أضف $y$ إلى كلا المتعادلين.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

خطوة 5.4.3

اقسِم كل حد في $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اقسِم كل حد في $y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ على $x$ .

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.1.2.5

اقسِم $- 2 x^{2}$ على $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{2} y$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.2.2.5

اقسِم $4 x y$ على $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

خطوة 5.4.3.3.1.3.2

اقسِم $- 2 y^{2}$ على $1$ .

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$