حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 4 x y^{2} - 27 = y^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 4 x y^{2} - 27) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4 x y^{2} - 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} + 4 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 4 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 4 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x^{2} + 4 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 x^{2} + 4 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.2.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27]$

خطوة 2.3

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x y y' + y^{2}) + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 4 (2 x y y') + 4 y^{2} + 0$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$3 x^{2} + 8 (x y y') + 4 y^{2} + 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $3 x^{2} + 8 x y y' + 4 y^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2} + 8 x y y' + 4 y^{2}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 8 x y y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 y^{3} y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 8 x y y' = 4 y^{3} y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $4 y^{3} y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 8 x y y' - 4 y^{3} y' = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 y^{2} + 8 x y y' - 4 y^{3} y' = - 3 x^{2}$

خطوة 5.2.2

اطرح $4 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$8 x y y' - 4 y^{3} y' = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $8 x y y' - 4 y^{3} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4 y y'$ من $8 x y y'$ .

$4 y y' (2 x) - 4 y^{3} y' = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $4 y y'$ من $- 4 y^{3} y'$ .

$4 y y' (2 x) + 4 y y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $4 y y'$ من $4 y y' (2 x) + 4 y y' (- y^{2})$ .

$4 y y' (2 x - y^{2}) = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $4 y y' (2 x - y^{2}) = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$ على $4 y (2 x - y^{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $4 y y' (2 x - y^{2}) = - 3 x^{2} - 4 y^{2}$ على $4 y (2 x - y^{2})$ .

$\frac{4 y y' (2 x - y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y y' (2 x - y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (2 x - y^{2})}{y (2 x - y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (2 x - y^{2})}{y (2 x - y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (2 x - y^{2})}{2 x - y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x - y^{2})}{2 x - y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y^{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{4 (- y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 y (2 x - y^{2})$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (y (2 x - y^{2}))}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (y (2 x - y^{2}))}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- y^{2}}{y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{y (- y)}{y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{y (- y)}{y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} + \frac{- y}{2 x - y^{2}}$

خطوة 5.4.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} - \frac{y}{2 x - y^{2}}$

خطوة 5.4.3.2

لكتابة $- \frac{y}{2 x - y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4 y}{4 y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} - \frac{y}{2 x - y^{2}} \cdot \frac{4 y}{4 y}$

خطوة 5.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4 y (2 x - y^{2})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

اضرب $\frac{y}{2 x - y^{2}}$ في $\frac{4 y}{4 y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} - \frac{y (4 y)}{(2 x - y^{2}) (4 y)}$

خطوة 5.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(2 x - y^{2}) (4 y)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{4 y (2 x - y^{2})} - \frac{y (4 y)}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - y (4 y)}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 4 y \cdot y}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.5.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.5.2.1

انقُل $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 4 (y \cdot y)}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.5.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.6.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 y^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (4 y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.6.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - (4 y^{2})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} + 4 y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.6.4.1

أعِد كتابة $- (3 x^{2} + 4 y^{2})$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} + 4 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} + 4 y^{2})}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 5.4.3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{3 x^{2} + 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} + 4 y^{2}}{4 y (2 x - y^{2})}$