حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - 16 y^{5} = \ln (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{4} - 16 y^{5}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 16 y^{5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 y^{5}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 y^{5}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 y^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 y^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$4 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x^{3} - 16 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$4 x^{3} - 16 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x^{3} - 16 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x^{3} - 16 (5 y^{4} y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $5$ في $- 16$ .

$4 x^{3} - 80 y^{4} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x^{3} - 80 y^{4} y' = \frac{y'}{y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$(4 x^{3} - 80 y^{4} y') y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $(4 x^{3} - 80 y^{4} y') y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 x^{3} y - 80 y^{4} y' y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2

اضرب $y^{4}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

انقُل $y$ .

$4 x^{3} y - 80 (y \cdot y^{4}) y' = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2

اضرب $y$ في $y^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$4 x^{3} y - 80 (y^{1} y^{4}) y' = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 x^{3} y - 80 y^{1 + 4} y' = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.3

أضف $1$ و $4$ .

$4 x^{3} y - 80 y^{5} y' = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.3

انقُل $y^{5}$ .

$4 x^{3} y - 80 y' y^{5} = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.4

أعِد ترتيب $4 x^{3} y$ و $- 80 y' y^{5}$ .

$- 80 y' y^{5} + 4 x^{3} y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 80 y' y^{5} + 4 x^{3} y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 80 y' y^{5} + 4 x^{3} y = y'$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$- 80 y' y^{5} + 4 x^{3} y - y' = 0$

خطوة 5.3.2

اطرح $4 x^{3} y$ من كلا المتعادلين.

$- 80 y' y^{5} - y' = - 4 x^{3} y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 80 y' y^{5} - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 80 y' y^{5}$ .

$y' (- 80 y^{5}) - y' = - 4 x^{3} y$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (- 80 y^{5}) + y' \cdot - 1 = - 4 x^{3} y$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 80 y^{5}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 80 y^{5} - 1) = - 4 x^{3} y$

خطوة 5.3.4

اقسِم كل حد في $y' (- 80 y^{5} - 1) = - 4 x^{3} y$ على $- 80 y^{5} - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $y' (- 80 y^{5} - 1) = - 4 x^{3} y$ على $- 80 y^{5} - 1$ .

$\frac{y' (- 80 y^{5} - 1)}{- 80 y^{5} - 1} = \frac{- 4 x^{3} y}{- 80 y^{5} - 1}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 80 y^{5} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 80 y^{5} - 1)}{- 80 y^{5} - 1} = \frac{- 4 x^{3} y}{- 80 y^{5} - 1}$

خطوة 5.3.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3} y}{- 80 y^{5} - 1}$

خطوة 5.3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x^{3} y}{- 80 y^{5} - 1}$

خطوة 5.3.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 80 y^{5}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} y}{- (80 y^{5}) - 1}$

خطوة 5.3.4.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} y}{- (80 y^{5}) - 1 (1)}$

خطوة 5.3.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (80 y^{5}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} y}{- (80 y^{5} + 1)}$

خطوة 5.3.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (80 y^{5} + 1)$ بالصيغة $- 1 (80 y^{5} + 1)$ .

$y' = - \frac{4 x^{3} y}{- 1 (80 y^{5} + 1)}$

خطوة 5.3.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{4 x^{3} y}{80 y^{5} + 1}$

خطوة 5.3.4.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{4 x^{3} y}{80 y^{5} + 1}$

خطوة 5.3.4.3.5.4

اضرب $\frac{4 x^{3} y}{80 y^{5} + 1}$ في $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3} y}{80 y^{5} + 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} y}{80 y^{5} + 1}$