حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 3}{y} = 4 x + y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + 3}{y}) = \frac{d}{d x} (4 x + y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{y \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{y - (x + 3) \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y - (x + 3) y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y + (- x - 1 \cdot 3) y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y - x y' - 1 \cdot 3 y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{y - x y' - 3 y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}}$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 + 2 y y'$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 4$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} = 2 y y' + 4$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- x y' + y - 3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 y y' + 4) y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- x y' + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

انقُل $x$ .

$- 1 y' x + y - 3 y' = (2 y y' + 4) y^{2}$

خطوة 5.2.1.1.2.2

انقُل $y$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = (2 y y' + 4) y^{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $(2 y y' + 4) y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y y' y^{2} + 4 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

انقُل $y^{2}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y) y' + 4 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 (y^{2} y^{1}) y' + 4 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{2 + 1} y' + 4 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y^{3} y' + 4 y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.3

انقُل $y^{3}$ .

$- 1 y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $- 1 y'$ بالصيغة $- y'$ .

$- y' x - 3 y' + y = 2 y' y^{3} + 4 y^{2}$

خطوة 5.3.2

اطرح $2 y' y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$- y' x - 3 y' + y - 2 y' y^{3} = 4 y^{2}$

خطوة 5.3.3

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $- y' x - 3 y' - 2 y' y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $- y' x$ .

$y' (- 1 x) - 3 y' - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y'$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 - 2 y' y^{3} = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y' y^{3}$ .

$y' (- 1 x) + y' \cdot - 3 + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.4.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 1 x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.4.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 1 x - 3) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (- 1 x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$

خطوة 5.3.6

اقسِم كل حد في $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ على $- x - 3 - 2 y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اقسِم كل حد في $y' (- x - 3 - 2 y^{3}) = 4 y^{2} - y$ على $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- x - 3 - 2 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- x - 3 - 2 y^{3})}{- x - 3 - 2 y^{3}} = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{4 y^{2}}{- x - 3 - 2 y^{3}} + \frac{- y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{4 y^{2} - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.2

أخرِج العامل $y$ من $4 y^{2} - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $4 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (4 y) - y}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- y$ .

$y' = \frac{y (4 y) + y \cdot - 1}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y (4 y) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- x - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 3 - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.4

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x) - 1 (3) - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - 2 y^{3}}$

خطوة 5.3.6.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3) - (2 y^{3})}$

خطوة 5.3.6.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x + 3) - (2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- (x + 3 + 2 y^{3})}$

خطوة 5.3.6.3.8

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.8.1

أعِد كتابة $- (x + 3 + 2 y^{3})$ بالصيغة $- 1 (x + 3 + 2 y^{3})$ .

$y' = \frac{y (4 y - 1)}{- 1 (x + 3 + 2 y^{3})}$

خطوة 5.3.6.3.8.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (4 y - 1)}{x + 3 + 2 y^{3}}$